BÀI 4: BÀI TẬP VỀ DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA
Chuẩn kiến thức & kỹ năng Chương trình GDPT 2018
I. TỔNG HỢP KIẾN THỨC CỐT LÕI CẦN NHỚ
Một chất điểm dao động điều hòa trên trục tọa độ $Ox$ quanh vị trí cân bằng $O$ được mô tả bởi:
- Phương trình li độ: $x = A \cos(\omega t + \varphi)$
- Phương trình vận tốc: $v = x'(t) = -\omega A \sin(\omega t + \varphi) = \omega A \cos\left(\omega t + \varphi + \frac{\pi}{2}\right)$
- Phương trình gia tốc: $a = v'(t) = -\omega^2 A \cos(\omega t + \varphi) = -\omega^2 x = \omega^2 A \cos(\omega t + \varphi + \pi)$
• Vận tốc sớm pha $\frac{\pi}{2}$ so với li độ.
• Gia tốc sớm pha $\frac{\pi}{2}$ so với vận tốc.
• Gia tốc ngược pha ($\pi$) so với li độ.
• Giữa $x$ và $v$: $A^2 = x^2 + \frac{v^2}{\omega^2} \implies |v| = \omega \sqrt{A^2 - x^2}$
• Giữa $v$ và $a$: $\frac{v^2}{v_{\text{max}}^2} + \frac{a^2}{a_{\text{max}}^2} = 1 \iff \frac{v^2}{\omega^2} + \frac{a^2}{\omega^4} = A^2$
• Trực tiếp: $a = -\omega^2 x$
Bảng tổng kết trạng thái tại các vị trí đặc biệt
| Đại lượng | Vị trí cân bằng ($x = 0$) | Biên dương ($x = +A$) | Biên âm ($x = -A$) |
|---|---|---|---|
| Li độ ($x$) | $x = 0$ | $x_{\text{max}} = +A$ | $x_{\text{min}} = -A$ |
| Vận tốc ($v$) | $v = \pm \omega A$ (tốc độ cực đại: $v_{\text{max}} = \omega A$) | $v = 0$ | $v = 0$ |
| Gia tốc ($a$) | $a = 0$ | $a_{\text{min}} = -\omega^2 A$ (độ lớn cực đại) | $a_{\text{max}} = +\omega^2 A$ (độ lớn cực đại) |
| Tính chất chuyển động | Vật đổi chiều chuyển động tại 2 biên; $\vec{a}$ luôn hướng về VTCB $O$. | Đi từ VTCB ra Biên: chuyển động chậm dần ($\vec{v} \cdot \vec{a} < 0$). Đi từ Biên về VTCB: chuyển động nhanh dần ($\vec{v} \cdot \vec{a} > 0$). |
|
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP TRỌNG TÂM & VÍ DỤ MINH HỌA
DẠNG 1 Xác định các đại lượng đặc trưng từ phương trình dao động
1. Đưa phương trình về dạng chuẩn: $x = A \cos(\omega t + \varphi)$ với $A > 0, \omega > 0$.
2. Đối chiếu trực tiếp để xác định: Biên độ $A$, tần số góc $\omega$, pha ban đầu $\varphi$.
3. Suy ra chu kì $T = \frac{2\pi}{\omega}$, tần số $f = \frac{1}{T} = \frac{\omega}{2\pi}$.
4. Pha dao động tại thời điểm $t$ là $(\omega t + \varphi)$; li độ tại thời điểm $t$ là $x(t)$.
Một chất điểm dao động điều hòa theo phương trình: $x = 5 \cos\left(4\pi t - \frac{\pi}{3}\right)\,\text{cm}$ ($t$ tính bằng giây).
Yêu cầu: Xác định biên độ, tần số góc, chu kì, tần số, pha ban đầu và li độ của chất điểm tại thời điểm $t = 0,25\,\text{s}$.
Đối chiếu với phương trình tổng quát $x = A \cos(\omega t + \varphi)$, ta có:
• Biên độ: $A = 5\,\text{cm}$.
• Tần số góc: $\omega = 4\pi\,\text{rad/s}$.
• Pha ban đầu: $\varphi = -\frac{\pi}{3}\,\text{rad}$.
• Chu kì: $T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{4\pi} = 0,5\,\text{s}$.
• Tần số: $f = \frac{1}{T} = \frac{1}{0,5} = 2\,\text{Hz}$.
• Tại thời điểm $t = 0,25\,\text{s}$:
Pha dao động: $\Phi = 4\pi \cdot 0,25 - \frac{\pi}{3} = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}\,\text{rad}$.
Li độ: $x = 5 \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) = 5 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -2,5\,\text{cm}$.
Một vật dao động điều hòa theo phương trình: $x = -4 \sin\left(2\pi t + \frac{\pi}{6}\right)\,\text{cm}$. Hãy đưa phương trình về dạng chuẩn và xác định pha ban đầu $\varphi$.
Áp dụng công thức chuyển đổi từ $-\sin(\alpha)$ sang $\cos(\alpha + \frac{\pi}{2})$:
$$x = -4 \sin\left(2\pi t + \frac{\pi}{6}\right) = 4 \cos\left(2\pi t + \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{2}\right) = 4 \cos\left(2\pi t + \frac{2\pi}{3}\right)\,\text{cm}.$$
• Biên độ: $A = 4\,\text{cm}$.
• Pha ban đầu chuẩn: $\varphi = +\frac{2\pi}{3}\,\text{rad}$.
DẠNG 2 Khai thác và đọc đồ thị dao động điều hòa
1. Đọc Biên độ $A$: Giá trị cực đại trên trục $Ox$ (độ cao đỉnh sóng).
2. Đọc Chu kì $T$:
• Khoảng thời gian giữa hai đỉnh sóng liên tiếp (hoặc hai đáy liên tiếp) là $\Delta t = T$.
• Khoảng thời gian giữa một đỉnh sóng và một đáy sóng liên tiếp là $\Delta t = \frac{T}{2}$.
• Khoảng thời gian giữa hai lần liên tiếp vật qua vị trí cân bằng là $\Delta t = \frac{T}{2}$.
3. Xác định Pha ban đầu $\varphi$:
• Tại $t = 0$, đọc li độ $x_0 \implies \cos\varphi = \frac{x_0}{A}$.
• Nếu đồ thị đang đi lên (vật chuyển động theo chiều dương, $v > 0$) $\implies \varphi < 0$.
• Nếu đồ thị đang đi xuống (vật chuyển động theo chiều âm, $v < 0$) $\implies \varphi > 0$.
Một vật dao động điều hòa có đồ thị li độ – thời gian như hình vẽ. Viết phương trình dao động điều hòa.
1. Xác định Biên độ $A$: Đọc đỉnh cao nhất của đồ thị trên trục $Ox \implies A = 6\,\text{cm}$.
2. Xác định Pha ban đầu $\varphi$:
Tại $t = 0$: $x_0 = 3\,\text{cm} = \frac{A}{2}$ và đồ thị đang đi lên theo chiều dương ($v > 0$).
$\cos\varphi = \frac{x_0}{A} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \implies \varphi = \pm \frac{\pi}{3}$.
Vì $v > 0 \implies \varphi = -\frac{\pi}{3}\,\text{rad}$.
3. Xác định Chu kì $T$ và Tần số góc $\omega$:
Thời gian ngắn nhất vật đi từ $x = +\frac{A}{2}$ ra biên dương $x = +A$ tương ứng với góc quét $\Delta \alpha = \frac{\pi}{3}\,\text{rad}$ trên vòng tròn lượng giác (thời gian $\Delta t = \frac{T}{6}$).
Từ đồ thị: $\frac{T}{6} = \frac{1}{6}\,\text{s} \implies T = 1\,\text{s} \implies \omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi\,\text{rad/s}$.
4. Phương trình dao động của vật: $$x = 6 \cos\left(2\pi t - \frac{\pi}{3}\right)\,\text{cm}.$$
DẠNG 3 Mối liên hệ động học giữa Li độ, Vận tốc và Gia tốc
1. Áp dụng hệ thức độc lập: $A^2 = x^2 + \frac{v^2}{\omega^2} \implies v = \pm \omega \sqrt{A^2 - x^2}$.
2. Mối liên hệ gia tốc và li độ: $a = -\omega^2 x \implies |a| = \omega^2 |x|$.
3. Khi biết hai cặp giá trị $(x_1, v_1)$ và $(x_2, v_2)$ tại hai thời điểm: $$\omega = \sqrt{\frac{v_1^2 - v_2^2}{x_2^2 - x_1^2}} \quad \text{và} \quad A = \sqrt{x_1^2 + \frac{v_1^2}{\omega^2}}$$
Một con lắc lò xo dao động điều hòa với biên độ $A = 10\,\text{cm}$ và tần số góc $\omega = 10\,\text{rad/s}$.
a) Tính tốc độ của con lắc khi nó đi qua vị trí có li độ $x = 6\,\text{cm}$.
b) Tính độ lớn gia tốc của con lắc tại vị trí có li độ $x = -8\,\text{cm}$.
a) Tốc độ tại li độ $x = 6\,\text{cm}$:
$$|v| = \omega \sqrt{A^2 - x^2} = 10 \cdot \sqrt{10^2 - 6^2} = 10 \cdot \sqrt{64} = 80\,\text{cm/s}.$$
b) Độ lớn gia tốc tại li độ $x = -8\,\text{cm}$:
$$|a| = \omega^2 |x| = 10^2 \cdot |-8| = 100 \cdot 8 = 800\,\text{cm/s}^2 = 8\,\text{m/s}^2.$$
DẠNG 4 Xác định độ lệch pha giữa hai dao động điều hòa cùng chu kì
1. Độ lệch pha: $\Delta \varphi = \varphi_2 - \varphi_1$.
• Nếu $\Delta \varphi > 0 \implies$ dao động 2 sớm pha hơn dao động 1 một góc $\Delta \varphi$.
• Nếu $\Delta \varphi < 0 \implies$ dao động 2 trễ pha hơn dao động 1 một góc $|\Delta \varphi|$.
2. Trên đồ thị hai dao động cùng chu kì $T$: xác định khoảng thời gian lệch nhau $\Delta t$ giữa hai đỉnh sóng tương ứng:
$$\Delta \varphi = \omega \Delta t = \frac{2\pi}{T} \cdot \Delta t.$$
Hai vật dao động điều hòa cùng chu kì $T = 2\,\text{s}$ trên hai trục tọa độ song song. Quan sát đồ thị li độ – thời gian thấy đỉnh sóng của vật 1 luôn xuất hiện sớm hơn đỉnh sóng tương ứng của vật 2 một khoảng thời gian $\Delta t = 0,25\,\text{s}$. Xác định độ lệch pha giữa hai dao động và cho biết dao động nào sớm pha hơn.
Độ lệch pha giữa hai dao động là:
$$\Delta \varphi = \frac{2\pi}{T} \cdot \Delta t = \frac{2\pi}{2} \cdot 0,25 = \frac{\pi}{4}\,\text{rad}.$$
Vì đỉnh sóng của vật 1 xuất hiện trước đỉnh sóng tương ứng của vật 2, nên dao động 1 sớm pha hơn dao động 2 một góc $\frac{\pi}{4}\,\text{rad}$ (hoặc dao động 2 trễ pha hơn dao động 1 một góc $\frac{\pi}{4}\,\text{rad}$).
DẠNG 5 Tính thời gian và quãng đường trong dao động điều hòa
1. Thời gian ngắn nhất giữa hai vị trí đặc biệt:
• Từ $x = 0$ đến $x = \pm \frac{A}{2}$: $\Delta t = \frac{T}{12}$.
• Từ $x = 0$ đến $x = \pm \frac{A\sqrt{2}}{2}$: $\Delta t = \frac{T}{8}$.
• Từ $x = 0$ đến $x = \pm \frac{A\sqrt{3}}{2}$: $\Delta t = \frac{T}{6}$.
• Từ $x = 0$ đến $x = \pm A$: $\Delta t = \frac{T}{4}$.
2. Quãng đường:
• Trong 1 chu kì $T$, vật luôn đi được quãng đường $S = 4A$.
• Trong nửa chu kì $\frac{T}{2}$, vật luôn đi được quãng đường $S = 2A$ (bất kể vị trí xuất phát).
Một vật dao động điều hòa với biên độ $A = 6\,\text{cm}$ và chu kì $T = 1,2\,\text{s}$. Tính quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian $\Delta t = 3,0\,\text{s}$ kể từ thời điểm ban đầu.
Phân tích khoảng thời gian $\Delta t$ theo chu kì $T$:
$$\Delta t = 3,0\,\text{s} = 2 \cdot 1,2\,\text{s} + 0,6\,\text{s} = 2T + \frac{T}{2}.$$
• Trong thời gian $2T$, quãng đường đi được là: $S_1 = 2 \cdot (4A) = 8A = 8 \cdot 6 = 48\,\text{cm}$.
• Trong thời gian $\frac{T}{2}$, quãng đường đi được là: $S_2 = 2A = 2 \cdot 6 = 12\,\text{cm}$.
Tổng quãng đường vật đi được là: $$S = S_1 + S_2 = 48 + 12 = 60\,\text{cm}.$$