Bài 3: Vận Tốc, Gia Tốc Trong Dao Động Điều Hòa
Dao động điều hòa: Vectơ Vận tốc & Gia tốc
NỘI DUNG BÀI HỌC (CHUẨN SGK GDPT 2018)
I. Vận Tốc Trong Dao Động Điều Hòa
Vận tốc tức thời của một vật chuyển động là đạo hàm bậc nhất của li độ theo thời gian:
Xét một vật dao động điều hòa có phương trình li độ:
Lấy đạo hàm bậc nhất của li độ theo thời gian, ta nhận được phương trình vận tốc:
• Vận tốc biến thiên điều hòa với cùng tần số góc $\omega$, chu kỳ $T$ và tần số $f$ như li độ.
• Vận tốc sớm pha $\frac{\pi}{2}\text{ rad}$ ($90^\circ$) so với li độ $x$.
• Độ lớn vận tốc (tốc độ) đạt giá trị cực đại khi vật đi qua vị trí cân bằng ($x = 0$):
$$|v_{\text{max}}| = v_{\text{max}} = \omega A$$
• Tại vị trí cân bằng ($x = 0$): Vật đạt tốc độ lớn nhất. Nếu đi theo chiều dương thì $v = +\omega A$; nếu đi theo chiều âm thì $v = -\omega A$.
• Tại hai vị trí biên ($x = \pm A$): Vật dừng lại trong khoảnh khắc để đổi chiều chuyển động nên vận tốc bằng 0 ($v = 0$).
Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của vận tốc theo thời gian $v(t)$ là một đường hình sin tuần hoàn với chu kỳ $T$.
• Đặc điểm chu kỳ: Đồ thị vận tốc biến thiên tuần hoàn lặp lại sau mỗi chu kỳ $T$. Khoảng cách thời gian giữa hai đỉnh (hoặc hai đáy) liên tiếp của đồ thị vận tốc đúng bằng $1$ chu kỳ $T$.
• Độ lệch pha $\frac{T}{4}$ so với li độ: Do vận tốc sớm pha $\frac{\pi}{2}\text{ rad}$ so với li độ nên trên đồ thị, đường cong $v(t)$ dịch chuyển sang bên trái một khoảng thời gian $\Delta t = \frac{T}{4}$ so với đường cong $x(t)$.
• Tại các thời điểm đồ thị $v(t)$ cắt trục hoành ($v = 0$): Vật đang ở hai vị trí biên ($x = \pm A$), chuẩn bị đổi chiều chuyển động.
• Tại các thời điểm đồ thị $v(t)$ đạt cực trị ($v = \pm v_{\text{max}}$): Vật đang đi qua vị trí cân bằng ($x = 0$).
II. Gia Tốc Trong Dao Động Điều Hòa
Gia tốc tức thời của vật là đạo hàm bậc nhất của vận tốc (hoặc đạo hàm bậc hai của li độ) theo thời gian:
Từ phương trình vận tốc $v = -\omega A \sin(\omega t + \varphi)$, lấy đạo hàm ta được phương trình gia tốc:
Thay $x = A \cos(\omega t + \varphi)$ vào biểu thức trên, ta có mối liên hệ trực tiếp giữa gia tốc và li độ:
Vì $a = -\omega^2 x$, gia tốc $a$ luôn trái dấu với li độ $x$. Do đó, vectơ gia tốc $\vec{a}$ luôn hướng về vị trí cân bằng trong suốt quá trình dao động.
• Gia tốc ngược pha hoàn toàn (lệch pha $\pi\text{ rad}$) so với li độ $x$.
• Gia tốc sớm pha $\frac{\pi}{2}\text{ rad}$ so với vận tốc $v$.
• Tại vị trí cân bằng ($x = 0$): Gia tốc bằng 0 ($a = 0$).
• Tại vị trí biên dương ($x = +A$): Gia tốc đạt giá trị cực tiểu đại số $a_{\text{min}} = -\omega^2 A$, độ lớn cực đại $|a| = \omega^2 A$.
• Tại vị trí biên âm ($x = -A$): Gia tốc đạt giá trị cực đại đại số $a_{\text{max}} = +\omega^2 A$, độ lớn cực đại $|a| = \omega^2 A$.
Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của gia tốc theo thời gian $a(t)$ là một đường hình sin tuần hoàn với chu kỳ $T$. Do $a = -\omega^2 x$, đồ thị gia tốc có dạng đối xứng ngược pha hoàn toàn ($\Delta \varphi = \pi\text{ rad}$) so với đồ thị li độ $x(t)$.
• Đặc điểm chu kỳ: Gia tốc biến thiên điều hòa với cùng chu kỳ $T$ và cùng tần số $f$ như li độ và vận tốc.
• Tính chất ngược pha ($\Delta \varphi = \pi\text{ rad}$ hay dịch $\frac{T}{2}$): Khi li độ đạt cực đại dương ($x = +A$) thì gia tốc đạt cực tiểu âm ($a = -a_{\text{max}}$); khi li độ đạt cực tiểu âm ($x = -A$) thì gia tốc đạt cực đại dương ($a = +a_{\text{max}}$).
• Tại các thời điểm đồ thị $a(t)$ cắt trục hoành ($a = 0$): Vật đang đi qua vị trí cân bằng ($x = 0$), lúc này tốc độ của vật đạt cực đại ($|v| = v_{\text{max}}$).
• Tại các đỉnh và đáy của đồ thị $a(t)$ ($a = \pm a_{\text{max}}$): Vật đang ở hai vị trí biên ($x = \mp A$), lúc này vận tốc tức thời bằng 0 ($v = 0$).
III. Mối Quan Hệ Giữa Vận Tốc Và Gia Tốc
1. Tính chất chuyển động của vật
• Tốc độ tăng dần từ $0$ lên cực đại $\omega A \implies$ Chuyển động nhanh dần.
• Vectơ vận tốc $\vec{v}$ và vectơ gia tốc $\vec{a}$ cùng chiều nhau ($\vec{v} \cdot \vec{a} > 0$).
• Tốc độ giảm dần từ $\omega A$ về $0 \implies$ Chuyển động chậm dần.
• Vectơ vận tốc $\vec{v}$ và vectơ gia tốc $\vec{a}$ ngược chiều nhau ($\vec{v} \cdot \vec{a} < 0$).
*Lưu ý:* Dao động điều hòa không phải là chuyển động biến đổi đều vì độ lớn gia tốc thay đổi liên tục theo thời gian.
2. Các hệ thức độc lập thời gian
Do li độ $x$, vận tốc $v$ và gia tốc $a$ lệch pha vuông góc từng đôi một nên ta có các hệ thức độc lập thời gian:
IV. Khai Thác Đồ Thị Động Học Và Bài Tập
Khi biểu diễn cùng lúc ba đại lượng động học trên cùng một trục thời gian $t$ (với điều kiện ban đầu $x(0) = +A, v(0) = 0, a(0) = -a_{\text{max}}$), ta thấy rõ sự tương quan và độ lệch pha nhịp nhàng giữa chúng:
• Cả ba đại lượng $x(t), v(t), a(t)$ đều biến thiên điều hòa cùng chu kỳ $T$ và cùng tần số $f$.
• Vận tốc $v(t)$ sớm pha $\frac{\pi}{2}$ ($\frac{T}{4}$) so với li độ $x(t)$.
• Gia tốc $a(t)$ ngược pha $\pi$ ($\frac{T}{2}$) so với li độ $x(t)$ và sớm pha $\frac{\pi}{2}$ ($\frac{T}{4}$) so với vận tốc $v(t)$.
Từ hệ thức độc lập thời gian giữa li độ $x$ và vận tốc $v$:
Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của vận tốc $v$ theo li độ $x$ có dạng là một đường Elip (Ellipse) nhận gốc tọa độ $O$ làm tâm đối xứng:
• Trục lớn và trục nhỏ: Hai trục của Elip nằm trên hai trục tọa độ $Ox$ (giới hạn $[-A; +A]$) và $Ov$ (giới hạn $[-v_{\text{max}}; +v_{\text{max}}]$).
• Chiều quay theo chiều kim đồng hồ: Khi thời gian $t$ tăng, điểm trạng thái $(x, v)$ di chuyển trên đường elip theo chiều kim đồng hồ.
• Nửa trên elip ($v > 0$): Vật đang chuyển động theo chiều dương (từ $-A$ qua VTCB đến $+A$).
• Nửa dưới elip ($v < 0$): Vật đang chuyển động theo chiều âm (từ $+A$ qua VTCB về $-A$).
Phương trình liên hệ $a = -\omega^2 x$ là hàm bậc nhất không có hệ số tự do, với hệ số góc là $-\omega^2 < 0$. Do li độ $x$ chỉ nhận giá trị trong đoạn $[-A; +A]$ nên đồ thị biểu diễn gia tốc theo li độ là một đoạn thẳng đi qua gốc tọa độ và dốc xuống:
• Đầu mút trên bên trái: Khi $x = -A \implies a = +\omega^2 A = +a_{\text{max}}$ (vật ở biên âm, gia tốc đạt cực đại dương).
• Điểm gốc tọa độ $O$: Khi $x = 0 \implies a = 0$ (vật qua vị trí cân bằng, gia tốc triệt tiêu).
• Đầu mút dưới bên phải: Khi $x = +A \implies a = -\omega^2 A = -a_{\text{max}}$ (vật ở biên dương, gia tốc đạt cực tiểu âm).
4. Bảng tổng hợp trạng thái dao động tại các vị trí đặc biệt
| Vị trí | Li độ $x$ | Vận tốc $v$ | Tốc độ $|v|$ | Gia tốc $a$ | Độ lớn $|a|$ |
|---|---|---|---|---|---|
| Vị trí cân bằng | $0$ | $\pm \omega A$ | Cực đại $\omega A$ | $0$ | Cực tiểu $0$ |
| Biên dương | $+A$ | $0$ | Cực tiểu $0$ | Cực tiểu $-\omega^2 A$ | Cực đại $\omega^2 A$ |
| Biên âm | $-A$ | $0$ | Cực tiểu $0$ | Cực đại $+\omega^2 A$ | Cực đại $\omega^2 A$ |
5. Ví dụ minh họa và bài tập vận dụng
Một vật dao động điều hòa với phương trình vận tốc: $v = 20\pi \cos\left(4\pi t + \frac{\pi}{6}\right)\text{ (cm/s)}$.
a) Xác định tốc độ cực đại và tần số góc của dao động.
b) Tính biên độ dao động và độ lớn gia tốc cực đại của vật.
c) Viết phương trình li độ $x(t)$ của vật.
Hướng dẫn giải chi tiết:
a) Đối chiếu phương trình chuẩn $v = v_{\text{max}} \cos(\omega t + \varphi_v)$:
• Tốc độ cực đại: $v_{\text{max}} = 20\pi\text{ cm/s}$.
• Tần số góc: $\omega = 4\pi\text{ rad/s}$.
b) Biên độ dao động và gia tốc cực đại:
• Biên độ: $A = \frac{v_{\text{max}}}{\omega} = \frac{20\pi}{4\pi} = \mathbf{5\text{ cm}}$.
• Gia tốc cực đại: $a_{\text{max}} = \omega^2 A = (4\pi)^2 \cdot 5 = 80\pi^2 \approx \mathbf{800\text{ cm/s}^2} = \mathbf{8\text{ m/s}^2}$.
c) Vì vận tốc sớm pha $\frac{\pi}{2}$ so với li độ nên pha ban đầu của li độ là:
$$\varphi_x = \varphi_v - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{3}\text{ rad}$$
$\implies$ Phương trình li độ: $x = 5 \cos\left(4\pi t - \frac{\pi}{3}\right)\text{ (cm)}$.
Một vật dao động điều hòa với biên độ $A = 10\text{ cm}$ và tần số góc $\omega = 10\text{ rad/s}$. Khi vật có li độ $x = 6\text{ cm}$:
a) Tính tốc độ của vật tại thời điểm đó.
b) Tính độ lớn gia tốc của vật tại thời điểm đó.
Hướng dẫn giải chi tiết:
a) Áp dụng hệ thức độc lập giữa li độ và vận tốc:
$$v = \omega \sqrt{A^2 - x^2} = 10 \sqrt{10^2 - 6^2} = 10 \cdot 8 = \mathbf{80\text{ cm/s}} = \mathbf{0,8\text{ m/s}}.$$
b) Độ lớn gia tốc của vật:
$$|a| = \omega^2 |x| = 10^2 \cdot 6 = \mathbf{600\text{ cm/s}^2} = \mathbf{6\text{ m/s}^2}.$$
Một vật dao động điều hòa có đồ thị vận tốc theo thời gian $v(t)$ được cho như hình vẽ bên dưới:
a) Xác định chu kỳ $T$, tần số góc $\omega$ và biên độ dao động $A$ của vật.
b) Tính độ lớn gia tốc cực đại $a_{\text{max}}$ của vật.
c) Xác định li độ và trạng thái chuyển động của vật tại thời điểm ban đầu $t = 0$ và tại thời điểm $t = 0,25\text{ s}$.
d) Viết phương trình vận tốc $v(t)$ và phương trình li độ $x(t)$.
Hướng dẫn giải chi tiết:
a) Đọc các thông số từ đồ thị $v(t)$:
• Thời gian vật thực hiện một dao động toàn phần (hoàn thành 1 chu kỳ hình sin): $T = \mathbf{1,0\text{ s}}$.
• Tần số góc: $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{1,0} = \mathbf{2\pi\text{ rad/s}}$.
• Vận tốc cực đại (đỉnh sóng cao nhất): $v_{\text{max}} = 20\pi\text{ cm/s}$.
• Biên độ dao động: $A = \frac{v_{\text{max}}}{\omega} = \frac{20\pi}{2\pi} = \mathbf{10\text{ cm}}$.
b) Độ lớn gia tốc cực đại của vật:
$$a_{\text{max}} = \omega^2 A = (2\pi)^2 \cdot 10 = 40\pi^2 \approx \mathbf{400\text{ cm/s}^2} = \mathbf{4\text{ m/s}^2}.$$
c) Li độ và trạng thái chuyển động:
• Tại $t = 0$: $v = 0$ và đang tăng lên giá trị dương $\implies$ vật đang ở vị trí biên âm ($x = -A = -10\text{ cm}$) và bắt đầu chuyển động nhanh dần về vị trí cân bằng theo chiều dương.
• Tại $t = 0,25\text{ s} = \frac{T}{4}$: $v = +v_{\text{max}} = +20\pi\text{ cm/s} > 0 \implies$ vật đang đi qua vị trí cân bằng ($x = 0$) theo chiều dương.
d) Phương trình dao động:
• Tại $t = 0$, $v = 0$ và $\frac{dv}{dt} > 0 \implies \varphi_v = -\frac{\pi}{2}\text{ rad}$.
$\implies$ Phương trình vận tốc: $v = 20\pi \cos\left(2\pi t - \frac{\pi}{2}\right)\text{ (cm/s)}$.
• Pha ban đầu của li độ: $\varphi_x = \varphi_v - \frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2} = -\pi\text{ rad}$.
$\implies$ Phương trình li độ: $x = 10 \cos(2\pi t - \pi)\text{ (cm)}$ hoặc $x = 10 \cos(2\pi t + \pi)\text{ (cm)}$.
📌 Vận tốc: $v = x' = \omega A \cos(\omega t + \varphi + \frac{\pi}{2})$. Vận tốc sớm pha $\frac{\pi}{2}$ so với li độ, cực đại ở VTCB ($|v_{\text{max}}| = \omega A$), bằng 0 ở hai biên.
📌 Gia tốc: $a = v' = -\omega^2 x = \omega^2 A \cos(\omega t + \varphi + \pi)$. Gia tốc ngược pha với li độ, luôn hướng về VTCB, bằng 0 ở VTCB, độ lớn cực đại ở hai biên ($|a_{\text{max}}| = \omega^2 A$).
📌 Hệ thức độc lập: $x^2 + \frac{v^2}{\omega^2} = A^2$ và $\frac{v^2}{\omega^2} + \frac{a^2}{\omega^4} = A^2$.