BÀI 5: ĐỘNG NĂNG. THẾ NĂNG. SỰ CHUYỂN HÓA NĂNG LƯỢNG TRONG DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA
Môn học: Vật lí 11 • Chương 1: Dao động
I. Động Năng Trong Dao Động Điều Hòa
Động năng của một vật có khối lượng $m$ dao động điều hòa với vận tốc $v = -\omega A \sin(\omega t + \varphi)$ tại thời điểm $t$ được xác định bởi công thức:
1. Độ lớn: Động năng luôn không âm ($W_{\text{đ}} \ge 0$).
2. Giá trị cực đại: $W_{\text{đ}\,\text{max}} = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2 = \frac{1}{2} m v_{\text{max}}^2$ khi vật đi qua vị trí cân bằng ($x = 0$, tốc độ $|v| = v_{\text{max}} = \omega A$).
3. Giá trị cực tiểu: $W_{\text{đ}} = 0$ khi vật ở hai vị trí biên ($x = \pm A$, vận tốc $v = 0$).
4. Chu kì biến thiên: Sử dụng công thức hạ bậc $\sin^2\alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2}$, động năng biến thiên tuần hoàn với tần số góc $\omega' = 2\omega$, chu kì $T' = \frac{T}{2}$ và tần số $f' = 2f$.
Động năng biến thiên tuần hoàn với chu kì $T' = \frac{T}{2}$ trong miền giá trị $[0, W]$.
Đồ thị $W_{\text{đ}}(x)$ là parabol có bề lõm hướng xuống, đỉnh tại $(0, W)$, cắt trục hoành tại hai vị trí biên $x = \pm A$.
II. Thế Năng Trong Dao Động Điều Hòa
Theo định luật bảo toàn năng lượng, nếu bỏ qua ma sát thì động năng của vật không mất đi mà chuyển dần thành thế năng của vật và ngược lại. Vì thế ta có thể viết:
Sử dụng hệ thức độc lập thời gian $v^2 = \omega^2(A^2 - x^2)$, ta có biểu thức thế năng của vật tại vị trí có li độ $x$:
Thay phương trình li độ $x = A \cos(\omega t + \varphi)$ vào biểu thức trên, ta được phương trình thế năng theo thời gian:
1. Độ lớn: Thế năng luôn không âm ($W_t \ge 0$).
2. Giá trị cực đại: $W_{t\,\text{max}} = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2$ khi vật ở hai vị trí biên ($x = \pm A$). Đối với con lắc lò xo có độ cứng $k = m\omega^2$, $W_{t\,\text{max}} = \frac{1}{2}kA^2$.
3. Giá trị cực tiểu: $W_t = 0$ khi vật đi qua vị trí cân bằng ($x = 0$).
4. Chu kì biến thiên: Sử dụng công thức hạ bậc $\cos^2\alpha = \frac{1 + \cos 2\alpha}{2}$, thế năng biến thiên tuầnhọc với tần số góc $\omega' = 2\omega$, chu kì $T' = \frac{T}{2}$ và tần số $f' = 2f$.
Thế năng biến thiên tuần hoàn với chu kì $T' = \frac{T}{2}$ trong miền giá trị $[0, W]$.
Đồ thị $W_t(x)$ là parabol có bề lõm hướng lên, đỉnh tại gốc $O(0,0)$ và đạt cực đại $W$ tại $x = \pm A$.
III. Cơ Năng Và Sự Chuyển Hóa Năng Lượng
1. Sự chuyển hóa qua lại giữa động năng và thế năng
Trong quá trình vật dao động điều hòa, động năng và thế năng liên tục chuyển hóa qua lại cho nhau:
• Vật chuyển động nhanh dần về phía vị trí cân bằng.
• Độ lớn li độ $|x|$ giảm dần $\implies$ Thế năng giảm.
• Tốc độ $|v|$ tăng dần $\implies$ Động năng tăng.
• Thế năng chuyển hóa hoàn toàn thành Động năng.
• Vật chuyển động chậm dần khi tiến ra vị trí biên.
• Tốc độ $|v|$ giảm dần $\implies$ Động năng giảm.
• Độ lớn li độ $|x|$ tăng dần $\implies$ Thế năng tăng.
• Động năng chuyển hóa hoàn toàn thành Thế năng.
2. Định luật bảo toàn cơ năng trong dao động điều hòa
Cơ năng $W$ của vật dao động điều hòa là tổng động năng và thế năng tại mọi thời điểm:
Khi bỏ qua mọi ma sát và lực cản của môi trường, cơ năng của vật dao động điều hòa được bảo toàn. Cơ năng là một hằng số không đổi theo thời gian, tỉ lệ thuận với khối lượng $m$, bình phương tần số góc $\omega^2$ và bình phương biên độ dao động $A^2$.
3. Đồ thị năng lượng trong dao động điều hòa
$W_{\text{đ}}$ và $W_t$ biến thiên ngược pha quanh đường $\frac{W}{2}$. Tổng $W_{\text{đ}}(t) + W_t(t) = W$ không đổi.
Hai parabol $W_t(x)$ và $W_{\text{đ}}(x)$ giao nhau tại $x = \pm \frac{A\sqrt{2}}{2}$, nơi $W_{\text{đ}} = W_t = \frac{W}{2}$.
4. Con lắc lò xo và con lắc đơn
| Đặc tính / Đại lượng | Con lắc lò xo (Dao động thẳng) | Con lắc đơn (Góc lệch nhỏ $\alpha_0 \le 10^\circ$) |
|---|---|---|
| Li độ | Li độ dài $x$ ($x \in [-A, +A]$) | Li độ góc $\alpha$ ($\alpha \in [-\alpha_0, +\alpha_0]$) hoặc li độ cong $s = l\alpha$ ($s \in [-S_0, +S_0]$) |
| Điều kiện dao động điều hòa | Bỏ qua mọi ma sát, lực cản và lò xo luôn biến dạng trong giới hạn đàn hồi. | Bỏ qua mọi ma sát, lực cản không khí và góc lệch cực đại nhỏ ($\alpha_0 \le 10^\circ \approx 0,175\text{ rad}$, khi đó $\sin\alpha \approx \alpha$). |
| Phương trình dao động điều hòa | $x = A \cos(\omega t + \varphi)$ $(v = -\omega A \sin(\omega t + \varphi))$ |
$\alpha = \alpha_0 \cos(\omega t + \varphi)$ hoặc $s = S_0 \cos(\omega t + \varphi)$ $(S_0 = l\alpha_0)$ |
| Tần số góc $\omega$ | $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$ | $\omega = \sqrt{\frac{g}{l}}$ |
| Chu kì dao động $T$ | $T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$ | $T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$ |
| Động năng $W_{\text{đ}}$ | $W_{\text{đ}} = \frac{1}{2}mv^2$ | $W_{\text{đ}} = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}m(\omega S_0)^2 \sin^2(\omega t + \varphi)$ |
| Thế năng $W_t$ | Thế năng đàn hồi: $W_t = \frac{1}{2}kx^2 = \frac{1}{2}m\omega^2 x^2$ |
Thế năng trọng trường: $W_t = mgl(1 - \cos\alpha) \approx \frac{1}{2}mgl\alpha^2 = \frac{1}{2}m\omega^2 s^2$ |
| Cơ năng toàn phần $W$ | $W = \frac{1}{2}kA^2 = \frac{1}{2}m\omega^2 A^2$ | $W = mgl(1 - \cos\alpha_0) \approx \frac{1}{2}mgl\alpha_0^2 = \frac{1}{2}m\omega^2 S_0^2$ |
| Điều kiện bảo toàn cơ năng | Bỏ qua ma sát, lực cản và khối lượng lò xo | Bỏ qua ma sát, lực cản không khí và góc lệch nhỏ ($\alpha_0 \le 10^\circ$) |
IV. Các Dạng Bài Tập Trọng Tâm & Phương Pháp Giải Nhanh
DẠNG 1: Tính toán các đại lượng năng lượng & Vị trí tỉ lệ động năng - thế năng
Khi động năng bằng $n$ lần thế năng ($W_{\text{đ}} = n W_t$), từ định luật bảo toàn cơ năng $W = W_{\text{đ}} + W_t = (n + 1) W_t$:
| Tỉ lệ năng lượng | Hệ số $n$ | Li độ $x$ | Vận tốc $|v|$ |
|---|---|---|---|
| Động năng = Thế năng ($W_{\text{đ}} = W_t$) | $n = 1$ | $x = \pm \frac{A\sqrt{2}}{2}$ | $|v| = \frac{v_{\text{max}}\sqrt{2}}{2}$ |
| Động năng = 3 lần Thế năng ($W_{\text{đ}} = 3W_t$) | $n = 3$ | $x = \pm \frac{A}{2}$ | $|v| = \frac{v_{\text{max}}\sqrt{3}}{2}$ |
| Thế năng = 3 lần Động năng ($W_t = 3W_{\text{đ}}$) | $n = \frac{1}{3}$ | $x = \pm \frac{A\sqrt{3}}{2}$ | $|v| = \frac{v_{\text{max}}}{2}$ |
Một con lắc lò xo có độ cứng $k = 100\,\text{N/m}$, gắn vật nặng khối lượng $m = 100\,\text{g}$ dao động điều hòa với biên độ $A = 6\,\text{cm}$. Bỏ qua mọi ma sát. Tính:
a) Cơ năng toàn phần của hệ dao động.
b) Động năng và thế năng của vật khi vật đi qua vị trí có li độ $x = 3\,\text{cm}$.
Đổi đơn vị chuẩn SI: $A = 6\,\text{cm} = 0,06\,\text{m}$; $x = 3\,\text{cm} = 0,03\,\text{m}$.
a) Cơ năng toàn phần của con lắc:
$$W = \frac{1}{2} k A^2 = \frac{1}{2} \cdot 100 \cdot (0,06)^2 = 50 \cdot 0,0036 = 0,18\,\text{J}$$
b) Thế năng của vật tại $x = 3\,\text{cm}$:
$$W_t = \frac{1}{2} k x^2 = \frac{1}{2} \cdot 100 \cdot (0,03)^2 = 0,045\,\text{J}$$
Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng, động năng tại vị trí này là:
$$W_{\text{đ}} = W - W_t = 0,18 - 0,045 = 0,135\,\text{J}$$
Một vật dao động điều hòa với biên độ $A = 10\,\text{cm}$. Xác định vị trí li độ $x$ của vật khi động năng bằng 3 lần thế năng ($W_{\text{đ}} = 3W_t$).
Ta có: $W_{\text{đ}} = 3W_t \implies W = W_{\text{đ}} + W_t = 3W_t + W_t = 4W_t$.
Thay công thức cơ năng và thế năng:
$$\frac{1}{2} m \omega^2 A^2 = 4 \cdot \left(\frac{1}{2} m \omega^2 x^2\right) \implies A^2 = 4x^2 \implies x = \pm \frac{A}{2}$$
Với $A = 10\,\text{cm}$, ta thu được: $x = \pm \frac{10}{2} = \pm 5\,\text{cm}$.
DẠNG 2: Khai thác và giải bài toán đồ thị Động năng – Thế năng
1. Khai thác đồ thị theo thời gian ($W - t$):
• Giá trị cực đại: Đỉnh cao nhất của đồ thị cho biết cơ năng $W = W_{\text{đ}\,\text{max}} = W_{t\,\text{max}} = \frac{1}{2}m\omega^2 A^2$.
• Chu kì dao động: Khoảng thời gian giữa 2 đỉnh liên tiếp (hoặc 2 đáy liên tiếp) của đường động năng/thế năng là $T' = \frac{T}{2} \implies T = 2T'$.
• Thời gian giao nhau ($W_{\text{đ}} = W_t$): Khoảng thời gian giữa 2 lần liên tiếp động năng bằng thế năng là $\Delta t = \frac{T}{4}$.
2. Khai thác đồ thị theo li độ ($W - x$):
• Biên độ $A$: Tọa độ các điểm mút giới hạn trên trục hoành $x \in [-A, +A]$.
• Độ cứng $k$ / Tần số góc $\omega$: Từ cơ năng $W$ và biên độ $A$, tính được $k = \frac{2W}{A^2}$ hoặc $\omega = \sqrt{\frac{2W}{mA^2}}$.
• Động năng tại li độ $x_0$: $W_{\text{đ}} = W - W_t(x_0) = \frac{1}{2}m\omega^2(A^2 - x_0^2) \implies |v| = \sqrt{\frac{2W_{\text{đ}}}{m}}$.
Hình bên dưới là đồ thị biểu diễn sự biến thiên của động năng $W_{\text{đ}}$ theo thời gian $t$ của một con lắc lò xo gồm vật nặng khối lượng $m = 200\,\text{g}$ dao động điều hòa:
Dựa vào đồ thị, hãy xác định:
a) Cơ năng toàn phần $W$ và chu kì dao động $T$ của vật.
b) Tốc độ cực đại $v_{\text{max}}$ và biên độ dao động $A$ của vật.
a) Đọc cơ năng và chu kì:
• Đỉnh cao nhất của đồ thị động năng là cơ năng toàn phần: $W = W_{\text{đ}\,\text{max}} = 0,08\,\text{J}$.
• Khoảng thời gian giữa 2 lần liên tiếp động năng bằng 0 là $t = 0,2 - 0 = 0,2\,\text{s} = \frac{T}{2} \implies T = 0,4\,\text{s}$.
b) Tính tốc độ cực đại và biên độ:
• Tần số góc: $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{0,4} = 5\pi\,\text{rad/s}$.
• Từ $W = \frac{1}{2} m v_{\text{max}}^2 \implies v_{\text{max}} = \sqrt{\frac{2W}{m}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 0,08}{0,2}} = \sqrt{0,8} \approx 0,894\,\text{m/s} = 89,4\,\text{cm/s}$.
• Biên độ dao động: $A = \frac{v_{\text{max}}}{\omega} = \frac{0,894}{5\pi} \approx 0,057\,\text{m} = 5,7\,\text{cm}$.
Đồ thị bên dưới mô tả sự phụ thuộc của thế năng $W_t$ và động năng $W_{\text{đ}}$ vào li độ $x$ của một con lắc lò xo đang dao động điều hòa:
Biết con lắc gồm lò xo nhẹ gắn vật nặng khối lượng $m = 250\,\text{g}$. Hãy:
a) Xác định biên độ dao động $A$, cơ năng $W$ và tính độ cứng $k$ của lò xo.
b) Tìm độ lớn vận tốc của vật khi vật đi qua vị trí có li độ $x = 4\,\text{cm}$.
a) Xác định $A, W, k$:
• Giới hạn của đồ thị theo trục hoành cho biết biên độ: $A = 8\,\text{cm} = 0,08\,\text{m}$.
• Đỉnh của đồ thị cho biết cơ năng toàn phần: $W = 0,32\,\text{J}$.
• Độ cứng lò xo: $$W = \frac{1}{2} k A^2 \implies k = \frac{2W}{A^2} = \frac{2 \cdot 0,32}{(0,08)^2} = \frac{0,64}{0,0064} = 100\,\text{N/m}.$$
b) Tính vận tốc tại $x = 4\,\text{cm} = 0,04\,\text{m}$ ($x = \frac{A}{2}$):
• Thế năng tại vị trí này: $$W_t = \frac{1}{2} k x^2 = \frac{1}{2} \cdot 100 \cdot (0,04)^2 = 0,08\,\text{J}.$$
• Động năng tại vị trí này: $$W_{\text{đ}} = W - W_t = 0,32 - 0,08 = 0,24\,\text{J}.$$
• Vận tốc của vật: $$W_{\text{đ}} = \frac{1}{2} m v^2 \implies |v| = \sqrt{\frac{2W_{\text{đ}}}{m}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 0,24}{0,25}} = \sqrt{1,92} \approx 1,39\,\text{m/s} = 139\,\text{cm/s}.$$
1. Động năng ($W_{\text{đ}} = \frac{1}{2}mv^2$): Cực đại tại VTCB, bằng 0 tại 2 biên. Đồ thị $W_{\text{đ}}(x)$ là parabol có bề lõm hướng xuống.
2. Thế năng tổng quát ($W_t = \frac{1}{2}m\omega^2 x^2$): Cực đại tại 2 biên, bằng 0 tại VTCB. Đồ thị $W_t(x)$ là parabol có bề lõm hướng lên.
3. Chu kì năng lượng: Động năng và thế năng biến thiên tuần hoàn với $T' = \frac{T}{2}$, $f' = 2f$, $\omega' = 2\omega$.
4. Cơ năng ($W = W_{\text{đ}} + W_t = \frac{1}{2}m\omega^2 A^2$): Luôn bảo toàn không đổi theo thời gian khi không có ma sát.
5. Đồ thị năng lượng: $W(t)$ là đường thẳng nằm ngang, $W_{\text{đ}}(t)$ và $W_t(t)$ ngược pha nhau quanh mức $\frac{W}{2}$.
6. Vị trí đặc biệt: $W_{\text{đ}} = nW_t \implies x = \pm \frac{A}{\sqrt{n+1}}$ và $|v| = \pm \omega A \sqrt{\frac{n}{n+1}}$.