BÀI 2: MÔ TẢ DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA
Mô Tả Dao Động Điều Hòa & Đồ Thị $x - t$
NỘI DUNG BÀI HỌC (CHUẨN SGK GDPT 2018)
I. Các Đại Lượng Đặc Trưng Của Dao Động Điều Hòa
Để xác định vị trí, chiều chuyển động và nhịp điệu nhanh chậm của một vật dao động, ta sử dụng hệ thống các đại lượng vật lí đặc trưng sau:
• Là độ lệch của vật khỏi vị trí cân bằng tại thời điểm $t$.
• Đơn vị đo: mét ($\text{m}$) hoặc xentimét ($\text{cm}$).
• Giá trị của li độ thỏa mãn: $-A \le x \le +A$ (có thể âm, dương hoặc bằng 0).
• Là độ lệch cực đại của vật khỏi vị trí cân bằng ($A = |x|_{\text{max}}$).
• Biên độ luôn là hằng số dương ($A > 0$).
• Quãng đường vật đi được trong một chu kì là: $S = 4A$. Chiều dài quỹ đạo chuyển động là: $L = 2A$.
• Là khoảng thời gian để vật thực hiện được một dao động toàn phần.
• Đơn vị đo: giây ($\text{s}$).
• Sau khoảng thời gian đúng bằng một chu kì $T$, trạng thái dao động của vật (vị trí và vận tốc) được lặp lại như cũ.
• Là số dao động toàn phần mà vật thực hiện được trong một giây.
• Đơn vị đo: héc ($\text{Hz}$) hoặc $\text{s}^{-1}$.
• Công thức liên hệ: $$f = \frac{1}{T} = \frac{N}{\Delta t}$$ (trong đó $N$ là số dao động thực hiện trong thời gian $\Delta t$).
Xét hai dao động điều hòa cùng tần số góc $\omega$: $x_1 = A_1 \cos(\omega t + \varphi_1)$ và $x_2 = A_2 \cos(\omega t + \varphi_2)$. Độ lệch pha giữa chúng là:
- Nếu $\Delta \varphi > 0$: Dao động 2 sớm pha (nhanh pha) hơn dao động 1 một góc $\Delta \varphi$.
- Nếu $\Delta \varphi < 0$: Dao động 2 trễ pha (chậm pha) hơn dao động 1 một góc $|\Delta \varphi|$.
- Nếu $\Delta \varphi = 2k\pi$ ($k \in \mathbb{Z}$): Hai dao động cùng pha (đồng thời đạt cực đại, cực tiểu).
- Nếu $\Delta \varphi = (2k+1)\pi$ ($k \in \mathbb{Z}$): Hai dao động ngược pha ($x_1$ đạt cực đại thì $x_2$ đạt cực tiểu).
- Nếu $\Delta \varphi = (2k+1)\frac{\pi}{2}$ ($k \in \mathbb{Z}$): Hai dao động vuông pha.
II. Phương Trình Dao Động Điều Hòa
Phương trình dao động điều hòa là phương trình mô tả sự phụ thuộc của li độ $x$ vào thời gian $t$ dưới dạng hàm cosin (hoặc sin):
Bảng ý nghĩa các đại lượng trong phương trình:
| Kí hiệu | Tên gọi | Đơn vị chuẩn | Đặc điểm / Ý nghĩa vật lí |
|---|---|---|---|
| $x$ | Li độ | $\text{m}$ hoặc $\text{cm}$ | Biến thiên điều hòa theo thời gian trong khoảng $[-A; +A]$. |
| $A$ | Biên độ | $\text{m}$ hoặc $\text{cm}$ | Hằng số dương ($A > 0$), độ lệch cực đại khỏi VTCB. |
| $\omega$ | Tần số góc | $\text{rad/s}$ | Hằng số dương ($\omega > 0$), liên hệ với chu kì: $\omega = 2\pi/T$. |
| $\omega t + \varphi$ | Pha dao động | $\text{rad}$ | Tăng tuyến tính theo thời gian $t$, quyết định trạng thái tức thời. |
| $\varphi$ | Pha ban đầu | $\text{rad}$ | Hằng số thuộc $[-\pi; \pi]$, xác định trạng thái lúc $t = 0$. |
III. Đồ Thị Li Độ – Thời Gian ($x - t$)
Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của li độ theo thời gian $x(t)$ là một đường hình sin uốn lượn tuần hoàn.
- Xác định biên độ $A$: Là giá trị đỉnh cao nhất của đồ thị so với trục hoành ($x_{\text{max}} = A$).
- Xác định chu kì $T$: Khoảng thời gian giữa hai đỉnh sóng liên tiếp (hoặc hai đáy sóng liên tiếp), hoặc gấp đôi khoảng thời gian giữa một đỉnh và một đáy kế tiếp ($T = 2 \cdot \Delta t_{\text{đỉnh-đáy}}$).
-
Xác định pha ban đầu $\varphi$: Nhìn vào điểm xuất phát của đồ thị tại $t = 0$:
• Nếu tại $t = 0$, $x = +A$ (đỉnh sóng) $\Rightarrow \varphi = 0$.
• Nếu tại $t = 0$, $x = -A$ (đáy sóng) $\Rightarrow \varphi = \pi$.
• Nếu tại $t = 0$, $x = 0$ và đồ thị đi lên (theo chiều dương) $\Rightarrow \varphi = -\frac{\pi}{2}$.
• Nếu tại $t = 0$, $x = 0$ và đồ thị đi xuống (theo chiều âm) $\Rightarrow \varphi = +\frac{\pi}{2}$.
IV. Các Dạng Bài Tập & Phương Pháp Giải Trọng Tâm
Đề bài: Một chất điểm dao động điều hòa có phương trình li độ: $x = 6 \cos\left(4\pi t - \frac{\pi}{3}\right)\text{ (cm)}$. Hãy xác định:
a) Biên độ dao động $A$, tần số góc $\omega$, pha ban đầu $\varphi$.
b) Chu kì $T$ và tần số $f$ của dao động.
c) Li độ của chất điểm tại thời điểm $t = 0,25\text{ s}$.
Lời giải chi tiết:
a) So sánh với phương trình chuẩn $x = A \cos(\omega t + \varphi)$, ta có:
• Biên độ: $A = 6\text{ cm}$.
• Tần số góc: $\omega = 4\pi\text{ rad/s}$.
• Pha ban đầu: $\varphi = -\frac{\pi}{3}\text{ rad}$.
b) Chu kì và tần số:
• Chu kì: $T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{4\pi} = 0,5\text{ s}$.
• Tần số: $f = \frac{1}{T} = \frac{1}{0,5} = 2\text{ Hz}$.
c) Li độ tại thời điểm $t = 0,25\text{ s}$: $$x = 6 \cos\left(4\pi \cdot 0,25 - \frac{\pi}{3}\right) = 6 \cos\left(\pi - \frac{\pi}{3}\right) = 6 \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) = 6 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -3\text{ cm}.$$
Đề bài: Đồ thị li độ – thời gian của một vật dao động điều hòa cho thấy đỉnh cao nhất là $8\text{ cm}$, khoảng thời gian giữa hai lần liên tiếp vật qua vị trí cân bằng theo cùng một chiều là $0,4\text{ s}$. Tại thời điểm ban đầu $t = 0$, vật đang ở vị trí biên dương. Hãy viết phương trình dao động của vật.
Lời giải chi tiết:
• Biên độ: $A = 8\text{ cm}$.
• Chu kì: Khoảng thời gian giữa 2 lần liên tiếp qua VTCB theo cùng một chiều chính là một chu kì: $T = 0,4\text{ s}$.
$\Rightarrow$ Tần số góc: $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{0,4} = 5\pi\text{ rad/s}$.
• Pha ban đầu: Tại $t = 0$, $x_0 = +A = +8\text{ cm} \Rightarrow \cos \varphi = 1 \Rightarrow \varphi = 0\text{ rad}$.
• Phương trình dao động: $$x = 8 \cos(5\pi t)\text{ (cm)}.$$
KHẮC SÂU TRỌNG TÂM KIẾN THỨC BÀI 2
• Phương trình dao động điều hòa: $x = A \cos(\omega t + \varphi)$ với $A > 0, \omega > 0$.
• Mối liên hệ chu kì – tần số – tần số góc: $\omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi f \Longleftrightarrow T = \frac{1}{f} = \frac{2\pi}{\omega}$.
• Quãng đường & Quỹ đạo: Trong 1 chu kì vật đi được quãng đường $S = 4A$. Chiều dài quỹ đạo $L = 2A$.
• Đồ thị $(x - t)$: Là đường hình sin. Khoảng cách giữa 2 đỉnh sóng liên tiếp là một chu kì $T$.