Bài 1: Dao động điều hòa
I. Khái niệm về Dao động Cơ học và Dao động Tuần hoàn
1. Dao động cơ học và Vị trí cân bằng
Trong tự nhiên và kĩ thuật, có rất nhiều vật chuyển động qua lại xung quanh một vị trí xác định. Dưới đây là 4 ví dụ điển hình về dao động cơ học:
Đung đưa qua lại quanh VTCB thẳng đứng
Rung rinh đung đưa quanh vị trí tự nhiên
Rung động nhấp nhô cực nhanh khi phát ra âm
Chuyển động tịnh tiến qua lại trong động cơ
• Vị trí cân bằng (VTCB - gốc $O$): Là vị trí khi vật đứng yên thì hợp lực tác dụng lên vật bằng 0. Khi vật dao động, nó chuyển động qua lại xung quanh vị trí này.
• Dao động cơ học (gọi tắt là dao động): Là chuyển động lặp đi lặp lại của một vật xung quanh một vị trí cân bằng xác định.
• Giới hạn biên: Dao động cơ học luôn diễn ra trong một phạm vi không gian giới hạn giữa hai điểm ngoài cùng, gọi là biên âm ($-A$) và biên dương ($+A$). Tại các vị trí biên này, vận tốc của vật bị giảm về 0 và vật dừng lại để đảo chiều chuyển động.
Tương tác kéo-thả trực tiếp con lắc lò xo và con lắc đơn, quan sát vector vận tốc $\vec{v}$, gia tốc $\vec{a}$, lực kéo về $\vec{F}_{kv}$, đồng hồ bấm giây đo chu kì $T$ và cơ chế vẽ đồ thị hình sin trên băng giấy chuyển động.
2. Dao động tuần hoàn
Trong thực tế, một số dao động có tính chất lặp lại rất đều đặn sau những khoảng thời gian bằng nhau.
• Dao động tuần hoàn: Là dao động cơ mà sau những khoảng thời gian bằng nhau xác định (gọi là chu kỳ $T$), trạng thái dao động của vật (bao gồm vị trí li độ và chiều chuyển động) được lặp lại như cũ.
II. Phương trình Dao động Điều hòa
Dao động điều hòa là dao động tuần hoàn mà li độ $x$ của vật là một hàm cosin (hoặc sin) theo thời gian.
Ý nghĩa và đơn vị của từng đại lượng trong phương trình:
| Đại lượng | Ký hiệu & Đơn vị | Bản chất & Ý nghĩa Vật lí |
|---|---|---|
| Li độ | $x$ ($\text{cm}$ hoặc $\text{m}$) | Độ dịch chuyển từ vị trí cân bằng $O$ đến vị trí của vật tại thời điểm $t$. Li độ có thể nhận giá trị âm ($x < 0$), dương ($x > 0$) hoặc bằng 0. |
| Biên độ | $A$ ($\text{cm}$ hoặc $\text{m}$) | Li độ cực đại của vật ($A = x_{\text{max}}$). Biên độ luôn là hằng số dương ($A > 0$). Chiều dài quỹ đạo chuyển động của vật là $L = 2A$. |
| Tần số góc | $\omega$ ($\text{rad/s}$) | Đại lượng đặc trưng cho nhịp độ biến thiên pha của dao động. Tần số góc luôn là hằng số dương ($\omega > 0$). |
| Pha dao động | $(\omega t + \varphi)$ ($\text{rad}$) | Pha của dao động tại thời điểm $t$, cho biết trạng thái dao động của vật (bao gồm vị trí li độ và chiều chuyển động) ở thời điểm $t$. |
| Pha ban đầu | $\varphi$ ($\text{rad}$) | Pha của dao động tại thời điểm ban đầu $t = 0$, dùng để xác định vị trí li độ $x_0$ và chiều chuyển động lúc bắt đầu quan sát. |
III. Mối liên hệ giữa Dao động điều hòa và Chuyển động tròn đều
Giữa dao động điều hòa và chuyển động tròn đều có mối liên hệ chặt chẽ về mặt hình học lượng giác:
Một dao động điều hòa trên một trục thẳng có thể coi là hình chiếu của một chuyển động tròn đều lên một đường kính nằm trong mặt phẳng quỹ đạo đó.
Tương tác trực quan chuyển động tròn đều của điểm $M$ bán kính $R = A$, hình chiếu $P$ dao động điều hòa trên trục $Ox$, quan sát vector vận tốc $\vec{v}$, gia tốc $\vec{a}$, độ lệch pha và vòng tròn lượng giác thời gian thực.
Quan sát điểm $M$ quay tròn đều trên đường tròn bán kính $R = A$ và hình chiếu $P$ của nó dao động điều hòa trên trục $Ox$!
IV. Đồ thị Li độ - Thời gian của Dao động điều hòa
Khi vẽ đồ thị biểu diễn li độ $x$ theo thời gian $t$, ta thu được một đường hình sin uốn lượn tuần hoàn mượt mà từ trái sang phải:
- Khi đường hình sin đạt đỉnh cao nhất: Vật ở vị trí biên dương ($x = +A$).
- Khi đường hình sin đạt đáy thấp nhất: Vật ở vị trí biên âm ($x = -A$).
- Khi đường hình sin cắt trục hoành thời gian $Ot$: Vật đi qua vị trí cân bằng ($x = 0$).
Quan sát vật dao động điều hòa ở bên trái quét thành đồ thị sóng hình sin theo thời gian ở bên phải!
Một vật dao động điều hòa dọc theo trục $Ox$ có phương trình li độ là: $x = 6 \cos\left(5\pi t - \frac{\pi}{4}\right)$ ($\text{cm}$, $t$ tính bằng giây).
a) Xác định biên độ $A$, tần số góc $\omega$ và pha ban đầu $\varphi$ của dao động.
b) Tính chiều dài quỹ đạo $L$ của vật.
c) Xác định pha dao động và li độ $x$ của vật tại thời điểm $t = 0,2\text{ s}$.
Lời giải chi tiết:
a) So sánh phương trình đã cho với phương trình chuẩn $x = A \cos(\omega t + \varphi)$, ta rút ra:
• Biên độ dao động: $A = 6\text{ cm}$.
• Tần số góc: $\omega = 5\pi\text{ rad/s}$.
• Pha ban đầu: $\varphi = -\frac{\pi}{4}\text{ rad}$.
b) Chiều dài quỹ đạo chuyển động của vật là:
$$L = 2A = 2 \times 6 = 12\text{ cm}$$
c) Tại thời điểm $t = 0,2\text{ s}$:
• Pha dao động của vật là: $\omega t + \varphi = 5\pi \times 0,2 - \frac{\pi}{4} = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}\text{ rad}$.
• Li độ của vật là:
$$x = 6 \cos\left(\frac{3\pi}{4}\right) = 6 \times \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -3\sqrt{2}\text{ cm} \approx -4,24\text{ cm}$$