Bài 12: Áp Suất Khí Theo Mô Hình Động Học Phân Tử
Mô hình động học vi mô: Áp suất vĩ mô là tổng hợp lực ép của vô số phân tử khí va chạm liên tục vào thành bình
NỘI DUNG BÀI HỌC
1. Nguyên Nhân Vi Mô Gây Ra Áp Suất Chất Khí
Áp suất chất khí tác dụng lên thành bình chứa sinh ra do sự va chạm hỗn loạn dồn dập của vô số phân tử khí vào thành bình. Mỗi cú va chạm vi mô của từng hạt phân tử truyền một lực ép nhỏ; tổng hợp hàng tỉ tỉ cú va chạm đó trong mỗi giây tạo nên áp suất vĩ mô liên tục tác dụng lên diện tích thành bình.
🔹 Bước 1: Xung lực của 1 phân tử trong một cú va chạm
- Xét một phân tử khối lượng $m$ chuyển động với vận tốc $v_x$ vuông góc vào thành bình diện tích $S$.
- Sau va chạm đàn hồi, phân tử bật ngược trở lại với vận tốc $-v_x$. Độ biến thiên động lượng của phân tử là:
$$\Delta p_x = m (-v_x) - m v_x = -2 m v_x$$
- Theo Định luật III Newton, thành bình nhận một độ biến thiên động lượng cùng độ lớn:
$$F_1 \cdot \Delta t = 2 m v_x$$
🔹 Bước 2: Số phân tử va chạm vào thành bình trong thời gian $\Delta t$
- Gọi $\mu = \frac{N}{V}$ là mật độ phân tử (số phân tử trong $1\text{ m}^3$). Vì phân tử chuyển động ngẫu nhiên bình đẳng theo 6 hướng ($\pm x, \pm y, \pm z$), trung bình có $\frac{1}{6}$ số phân tử chuyển động về phía thành bình bên phải.
- Số phân tử va chạm vào diện tích $S$ trong khoảng thời gian $\Delta t$ là:
$$N_{\text{va chạm}} = \frac{1}{6} \mu \cdot (S \cdot v_x \Delta t)$$
🔹 Bước 3: Áp lực vĩ mô tổng hợp lên thành bình
- Tổng lực ép $F$ của tất cả các phân tử va chạm lên diện tích $S$: $$F \cdot \Delta t = N_{\text{va chạm}} \cdot (2 m v_x) = \left(\frac{1}{6} \mu S v_x \Delta t\right) \cdot (2 m v_x) = \frac{1}{3} \mu m S v_x^2 \Delta t$$ - Áp lực trung bình: $F = \frac{1}{3} \mu m S v_x^2 \implies$ Áp suất $p = \frac{F}{S} = \frac{1}{3} \mu m v_x^2$.
🔹 Bước 4: Công thức tổng quát theo tốc độ trung bình $\overline{v^2}$ và động năng $E_k$
- Vì chuyển động là hỗn loạn như nhau theo 3 phương: $\overline{v^2} = \overline{v_x^2} + \overline{v_y^2} + \overline{v_z^2} = 3 \overline{v_x^2} \implies \overline{v_x^2} = \frac{1}{3} \overline{v^2}$.
- Rút ra công thức áp suất chất khí chính thức:
• $p$: Áp suất chất khí ($\text{Pa}$ hoặc $\text{N/m}^2$).
• $\rho = \frac{m_{\text{tổng}}}{V} = \mu m$: Khối lượng riêng của chất khí ($\text{kg/m}^3$).
• $\mu = \frac{N}{V}$: Mật độ phân tử khí (số phân tử trên $1\text{ m}^3$).
• $E_k = \frac{1}{2} m \overline{v^2}$: Động năng tịnh tiến trung bình của phân tử ($\text{J}$).
2. Động Năng Trung Bình & Nhiệt Độ Tuyệt Đối
Nhiệt độ tuyệt đối $T$ không chỉ là một thông số trạng thái vĩ mô mà nó có bản chất vi mô sâu sắc: Nhiệt độ tuyệt đối $T$ tỉ lệ thuận với động năng tịnh tiến trung bình của các phân tử chất khí.
Trong đó $k = \frac{R}{N_A} \approx 1,38 \cdot 10^{-23}\text{ J/K}$ là Hằng số Boltzmann.
Tại nhiệt độ $T = 0\text{ K}$ (Độ không tuyệt đối $\approx -273^\circ\text{C}$), động năng trung bình $E_k = 0$, nghĩa là mọi chuyển động nhiệt phân tử đều ngừng lại.
Ở cùng một nhiệt độ tuyệt đối $T$, mọi chất khí lí tưởng đều có động năng tịnh tiến trung bình phân tử bằng nhau ($E_k = \frac{3}{2} k T$).
3. Tốc Độ Căn Quân Phương ($v_{rms}$)
Vì các phân tử khí chuyển động với các vận tốc ngẫu nhiên khác nhau, người ta dùng Tốc độ căn quân phương $v_{\text{rms}}$ (Root-Mean-Square Speed) để đặc trưng cho tốc độ chuyển động nhiệt của phân tử:
• $R \approx 8,31\text{ J/(mol}\cdot\text{K)}$: Hằng số khí lí tưởng.
• $M$: Khối lượng mol của chất khí (đơn vị bắt buộc: $\text{kg/mol}$).
• Ở cùng nhiệt độ $T$, khí nào có khối lượng mol $M$ nhỏ hơn (nhẹ hơn) thì phân tử chuyển động nhanh hơn ($v_{\text{rms}}$ lớn hơn).
4. Mô Phỏng: Áp Suất Khí & Động Học Phân Tử
CHUYỂN ĐỘNG PHÂN TỬ KHÍ & ÁP SUẤT
Mô phỏng tương tác💡 Hướng dẫn: Tăng giảm nhiệt độ hoặc thay đổi số lượng phân tử để trực tiếp theo dõi các va chạm phân tử và sự thay đổi của áp suất khí.
5. Các Dạng Bài Tập Và Phương Pháp Giải
Phương pháp giải:
- Áp suất chất khí theo mô hình động học phân tử: $$p = \frac{1}{3} \rho \overline{v^2} = \frac{1}{3} \mu m \overline{v^2}$$
- Trung bình bình phương tốc độ phân tử: $$\overline{v^2} = \frac{3 p}{\rho}$$
- Căn bậc hai của trung bình bình phương tốc độ (tốc độ căn quân phương): $$v_{\text{rms}} = \sqrt{\overline{v^2}} = \sqrt{\frac{3 p}{\rho}} = \sqrt{\frac{3 R T}{M}}$$
📝 Ví dụ 1:
Ở nhiệt độ phòng và áp suất $p = 10^5\text{ Pa}$, không khí có khối lượng riêng khoảng $\rho = 1,29\text{ kg/m}^3$. Xác định giá trị trung bình của bình phương tốc độ $\overline{v^2}$ và tốc độ căn quân phương $v_{\text{rms}}$ của các phân tử không khí.
💡 Hướng dẫn giải:
- Áp dụng công thức liên hệ áp suất và khối lượng riêng:
$$p = \frac{1}{3} \rho \overline{v^2} \implies \overline{v^2} = \frac{3 p}{\rho} = \frac{3 \times 10^5}{1,29} \approx 2,33 \cdot 10^5\text{ m}^2/\text{s}^2$$- Tốc độ căn quân phương của các phân tử không khí:
$$v_{\text{rms}} = \sqrt{\overline{v^2}} = \sqrt{2,33 \cdot 10^5} \approx 482,3\text{ m/s}$$Kết luận: Giá trị trung bình bình phương tốc độ là $2,33 \cdot 10^5\text{ m}^2/\text{s}^2$ và tốc độ căn quân phương xấp xỉ $482\text{ m/s}$.
📝 Ví dụ 2:
Tính tốc độ căn quân phương $v_{\text{rms}}$ trong chuyển động nhiệt của phân tử khí nitrogen ($\text{N}_2$, khối lượng mol $M = 28\text{ g/mol} = 28 \cdot 10^{-3}\text{ kg/mol}$) ở nhiệt độ $t = 0^\circ\text{C}$ ($T = 273\text{ K}$). Cho $R = 8,31\text{ J/(mol}\cdot\text{K)}$.
💡 Hướng dẫn giải:
- Áp dụng công thức tính tốc độ căn quân phương theo $T$ và $M$:
$$v_{\text{rms}} = \sqrt{\frac{3 R T}{M}} = \sqrt{\frac{3 \times 8,31 \times 273}{28 \cdot 10^{-3}}} = \sqrt{\frac{6805,89}{0,028}} \approx 493\text{ m/s}$$Kết luận: Tốc độ căn quân phương của phân tử nitrogen ở $0^\circ\text{C}$ xấp xỉ $493\text{ m/s}$.
Phương pháp giải:
- Động năng tịnh tiến trung bình của phân tử khí ở nhiệt độ $T$: $$E_k = \overline{W_d} = \frac{3}{2} k T$$
- Hằng số Boltzmann: $k = \frac{R}{N_A} \approx 1,38 \cdot 10^{-23}\text{ J/K}$.
- Đổi đơn vị năng lượng sang electronvolt: $1\text{ eV} = 1,6 \cdot 10^{-19}\text{ J}$.
📝 Ví dụ 3:
Động năng tịnh tiến trung bình của phân tử khí lí tưởng ở $25^\circ\text{C}$ ($T = 298\text{ K}$) có giá trị bằng bao nhiêu Joule? Cho hằng số Boltzmann $k = 1,38 \cdot 10^{-23}\text{ J/K}$.
💡 Hướng dẫn giải:
- Áp dụng công thức liên hệ động năng trung bình và nhiệt độ tuyệt đối:
$$E_k = \frac{3}{2} k T = 1,5 \times (1,38 \cdot 10^{-23}) \times 298 \approx 6,17 \cdot 10^{-21}\text{ J}$$Kết luận: Động năng tịnh tiến trung bình của phân tử khí ở $25^\circ\text{C}$ bằng $6,17 \cdot 10^{-21}\text{ J}$.
📝 Ví dụ 4:
Nhiệt độ của một khối khí là $t = 27^\circ\text{C}$ ($T = 300\text{ K}$). Tính động năng tịnh tiến trung bình của các phân tử khí theo đơn vị electronvolt (eV). Biết $1\text{ eV} = 1,6 \cdot 10^{-19}\text{ J}$.
💡 Hướng dẫn giải:
- Động năng tịnh tiến trung bình tính theo Joule:
$$E_k = \frac{3}{2} k T = 1,5 \times (1,38 \cdot 10^{-23}) \times 300 = 6,21 \cdot 10^{-21}\text{ J}$$- Đổi sang đơn vị eV:
$$E_k = \frac{6,21 \cdot 10^{-21}}{1,6 \cdot 10^{-19}} \approx 0,039\text{ eV}$$Kết luận: Động năng tịnh tiến trung bình của phân tử khí bằng $0,039\text{ eV}$.
Phương pháp giải:
- Ở cùng nhiệt độ $T$: Phân tử khí có khối lượng mol $M$ nhỏ hơn (nhẹ hơn) chuyển động với tốc độ căn quân phương $v_{\text{rms}}$ lớn hơn ($v_{\text{rms}} \sim \frac{1}{\sqrt{M}}$).
- Nhiệt độ để phân tử khí đạt tốc độ vũ trụ $v$: $$T = \frac{M \cdot v^2}{3 R}$$
📝 Ví dụ 5:
Trong không khí gồm các chất khí chính như nitrogen ($\text{N}_2$), oxygen ($\text{O}_2$), carbon dioxide ($\text{CO}_2$). Ở cùng một nhiệt độ $T$, hãy sắp xếp giá trị tốc độ căn quân phương $v_{\text{rms}}$ của phân tử các chất khí trên theo thứ tự tăng dần.
💡 Hướng dẫn giải:
- Khối lượng mol các chất khí: $M_{\text{CO}_2} = 44\text{ g/mol} > M_{\text{O}_2} = 32\text{ g/mol} > M_{\text{N}_2} = 28\text{ g/mol}$.
- Tốc độ căn quân phương $v_{\text{rms}} = \sqrt{\frac{3 R T}{M}}$ tỉ lệ nghịch với căn bậc hai của khối lượng mol $\sqrt{M}$.
- Do đó, khí có khối lượng mol càng lớn thì phân tử chuyển động càng chậm.
Kết luận: Thứ tự tăng dần tốc độ căn quân phương là: $\text{CO}_2 < \text{O}_2 < \text{N}_2$.
📝 Ví dụ 6:
Ở nhiệt độ $T$ bằng bao nhiêu thì tốc độ căn quân phương của các phân tử khí oxygen ($\text{O}_2$, $M = 32 \cdot 10^{-3}\text{ kg/mol}$) đạt tốc độ vũ trụ cấp I ($v = 7,9\text{ km/s} = 7900\text{ m/s}$)? Cho $R = 8,31\text{ J/(mol}\cdot\text{K)}$.
💡 Hướng dẫn giải:
- Áp dụng công thức tính tốc độ căn quân phương:
$$v_{\text{rms}} = \sqrt{\frac{3 R T}{M}} \implies v_{\text{rms}}^2 = \frac{3 R T}{M} \implies T = \frac{M \cdot v_{\text{rms}}^2}{3 R}$$- Thay số:
$$T = \frac{32 \cdot 10^{-3} \times (7900)^2}{3 \times 8,31} = \frac{1997120}{24,93} \approx 8,01 \cdot 10^4\text{ K}$$Kết luận: Ở nhiệt độ xấp xỉ $8,01 \cdot 10^4\text{ K}$, tốc độ căn quân phương của phân tử oxygen đạt tốc độ vũ trụ cấp I.
📌 Nguyên nhân áp suất khí: Do các va chạm hỗn loạn dồn dập của các phân tử khí vào thành bình ($p = \frac{2}{3} \mu E_k$).
📌 Quan hệ động năng & nhiệt độ: $E_k = \frac{3}{2} k T$. Nhiệt độ tuyệt đối là thước đo động năng trung bình của phân tử.
📌 Tốc độ căn quân phương: $v_{\text{rms}} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$. Khí nhẹ hơn hoặc nhiệt độ cao hơn có $v_{\text{rms}}$ lớn hơn.
📌 Độ không tuyệt đối ($0\text{ K}$): Động năng trung bình bằng $0$, chuyển động nhiệt phân tử ngừng lại.