BÀI 7: BÀI TẬP VỀ SỰ CHUYỂN HÓA NĂNG LƯỢNG TRONG DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA
Mục tiêu bài học: Củng cố toàn diện bản chất vật lí của sự chuyển hóa qua lại giữa động năng và thế năng trong dao động điều hòa. Nắm vững phương pháp giải các dạng bài tập định lượng kinh điển, phương pháp đọc và khai thác đồ thị năng lượng $(W - x)$ và $(W - t)$, giải quyết các bài toán cơ năng trong con lắc đơn và con lắc lò xo bám sát chuẩn SGK Vật lí 11 GDPT 2018.
I. TÓM TẮT LÍ THUYẾT CỐT LÕI
Xét một chất điểm khối lượng $m$ dao động điều hòa với phương trình li độ $x = A\cos(\omega t + \varphi)$ và vận tốc $v = x' = -\omega A\sin(\omega t + \varphi)$:
- Động năng ($W_d$): Là năng lượng có được do chuyển động của vật: $$W_d = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}m\omega^2 A^2 \sin^2(\omega t + \varphi) = \frac{1}{2}k(A^2 - x^2)$$
- Thế năng ($W_t$): Đối với con lắc lò xo (chọn mốc thế năng tại vị trí cân bằng $x=0$): $$W_t = \frac{1}{2}kx^2 = \frac{1}{2}m\omega^2 x^2 = \frac{1}{2}m\omega^2 A^2 \cos^2(\omega t + \varphi)$$
- Cơ năng toàn phần ($W$): Tổng của động năng và thế năng: $$W = W_d + W_t = \frac{1}{2}kA^2 = \frac{1}{2}m\omega^2 A^2 = \frac{1}{2}mv_{\text{max}}^2 = \text{hằng số bảo toàn}$$
Trong quá trình dao động không có ma sát:
- • Vị trí cân bằng ($x = 0$): Thế năng triệt tiêu ($W_t = 0$), động năng cực đại bằng cơ năng ($W_d = W_{\text{max}} = W$).
- • Vị trí biên ($x = \pm A$): Động năng triệt tiêu ($W_d = 0$), thế năng cực đại bằng cơ năng ($W_t = W_{\text{max}} = W$).
- • Từ VTCB ra biên: Động năng giảm, thế năng tăng (động năng chuyển hóa thành thế năng).
- • Từ biên về VTCB: Thế năng giảm, động năng tăng (thế năng chuyển hóa thành động năng).
Hạ bậc các biểu thức hàm lượng giác sin, cos:
- • Li độ, vận tốc, gia tốc biến thiên điều hòa với chu kì $T$, tần số $f$, tần số góc $\omega$.
- • Động năng $W_d$ và thế năng $W_t$ biến thiên tuần hoàn với:
Chu kì: $T' = \frac{T}{2}$
Tần số: $f' = 2f$
Tần số góc: $\omega' = 2\omega$ - • Cơ năng toàn phần $W$ không biến thiên mà bảo toàn theo thời gian.
Đồ thị năng lượng theo li độ $(W - x)$
• $W_t(x) = \frac{1}{2}kx^2$: Parabol đỉnh $O(0,0)$, bề lõm quay lên.
• $W_d(x) = \frac{1}{2}k(A^2 - x^2)$: Parabol đỉnh $(0, W)$, bề lõm quay xuống.
• $W(x) = \text{const}$: Đoạn thẳng song song trục hoành $Ox$.
• Hai đường $W_d$ và $W_t$ cắt nhau tại $x = \pm \frac{A}{\sqrt{2}}$, tại đó $W_d = W_t = \frac{W}{2}$.
Đồ thị năng lượng theo thời gian $(W - t)$
• $W_d(t)$ và $W_t(t)$ là các đường hình sin biến thiên tuần hoàn trong dải $[0; W]$.
• Hai đường lệch pha nhau một góc $\pi$.
• Khoảng thời gian giữa hai lần liên tiếp $W_d = W_t$ luôn bằng $\Delta t = \frac{T'}{2} = \frac{T}{4}$.
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP TRỌNG TÂM & VÍ DỤ MINH HỌA
Dạng 1 Mối quan hệ giữa động năng, thế năng và cơ năng theo tọa độ $x$, vận tốc $v$
Bài toán yêu cầu tìm tọa độ li độ $x$ hoặc vận tốc $v$ khi biết tỉ số giữa động năng và thế năng $W_d = n W_t$ (hoặc $W_t = \frac{1}{n} W_d$):
- 1. Tìm li độ $x$ khi biết $W_d = n W_t$: $$W = W_d + W_t = n W_t + W_t = (n+1)W_t$$ $$\Leftrightarrow \frac{1}{2}kA^2 = (n+1)\cdot \frac{1}{2}kx^2 \implies x^2 = \frac{A^2}{n+1} \implies \mathbf{x = \pm \frac{A}{\sqrt{n+1}}}$$
- 2. Tìm vận tốc $v$ khi biết $W_t = \frac{1}{n} W_d$: $$W = W_d + W_t = W_d + \frac{1}{n}W_d = \frac{n+1}{n}W_d$$ $$\Leftrightarrow \frac{1}{2}mv_{\text{max}}^2 = \frac{n+1}{n}\cdot \frac{1}{2}mv^2 \implies v^2 = \frac{n}{n+1}v_{\text{max}}^2 \implies \mathbf{v = \pm \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}}v_{\text{max}}}$$
| Trường hợp đặc biệt | Tỉ số năng lượng | Li độ $x$ | Vận tốc $|v|$ |
|---|---|---|---|
| Động năng = Thế năng | $W_d = W_t$ ($n=1$) | $\mathbf{x = \pm \frac{A}{\sqrt{2}}}$ | $|v| = \frac{v_{\text{max}}}{\sqrt{2}}$ |
| Động năng = 3 lần Thế năng | $W_d = 3W_t$ ($n=3$) | $\mathbf{x = \pm \frac{A}{2}}$ | $|v| = \frac{v_{\text{max}}\sqrt{3}}{2}$ |
| Thế năng = 3 lần Động năng | $W_t = 3W_d$ ($n=1/3$) | $\mathbf{x = \pm \frac{A\sqrt{3}}{2}}$ | $|v| = \frac{v_{\text{max}}}{2}$ |
Một con lắc lò xo dao động điều hòa theo phương ngang với biên độ $A = 10\,\text{cm}$ và độ cứng lò xo $k = 100\,\text{N/m}$. Mốc thế năng tại vị trí cân bằng.
a) Tính cơ năng toàn phần của con lắc.
b) Xác định li độ của vật khi động năng gấp $3$ lần thế năng.
c) Tính động năng và vận tốc của vật khi vật có li độ $x = 6\,\text{cm}$, biết khối lượng vật nặng là $m = 250\,\text{g}$.
a) Tính cơ năng toàn phần:
Đổi $A = 10\,\text{cm} = 0,1\,\text{m}$. Cơ năng của con lắc lò xo:
$$W = \frac{1}{2}kA^2 = \frac{1}{2} \cdot 100 \cdot (0,1)^2 = 0,5\,\text{J}$$
b) Li độ khi $W_d = 3W_t$:
Áp dụng công thức tổng quát với $n = 3$:
$$x = \pm \frac{A}{\sqrt{n+1}} = \pm \frac{10}{\sqrt{3+1}} = \pm \frac{10}{2} = \pm 5\,\text{cm}$$
c) Tại li độ $x = 6\,\text{cm} = 0,06\,\text{m}$ ($m = 0,25\,\text{kg}$):
• Thế năng của con lắc:
$$W_t = \frac{1}{2}kx^2 = \frac{1}{2} \cdot 100 \cdot (0,06)^2 = 0,18\,\text{J}$$
• Động năng của vật:
$$W_d = W - W_t = 0,5 - 0,18 = 0,32\,\text{J}$$
• Vận tốc của vật:
$$W_d = \frac{1}{2}mv^2 \implies v^2 = \frac{2W_d}{m} = \frac{2 \cdot 0,32}{0,25} = 2,56 \implies |v| = 1,6\,\text{m/s} = 160\,\text{cm/s}$$
Dạng 2 Bài toán thời gian và sự biến thiên năng lượng theo thời gian
- • Thế năng và động năng biến thiên tuần hoàn với chu kì $T' = \frac{T}{2}$, tần số $f' = 2f$.
- • Khoảng thời gian giữa hai lần liên tiếp động năng bằng cực đại ($W_d = W$) là $\Delta t = \frac{T}{2}$.
- • Khoảng thời gian giữa hai lần liên tiếp thế năng bằng cực đại ($W_t = W$) là $\Delta t = \frac{T}{2}$.
- • Khoảng thời gian ngắn nhất giữa hai lần liên tiếp động năng bằng thế năng ($W_d = W_t$) là: $$\Delta t = \frac{T}{4}$$
- • Bài toán khoảng thời gian $W_d \ge W_t$ (hoặc $W_t \le W_d$): Vật dao động trong khoảng li độ $\left[-\frac{A}{\sqrt{2}}; +\frac{A}{\sqrt{2}}\right]$, ứng với tổng thời gian trong một chu kì là: $$\Delta t = 4 \cdot \frac{T}{8} = \frac{T}{2}$$
Một vật nhỏ dao động điều hòa với chu kì $T = 1,2\,\text{s}$ và biên độ $A = 8\,\text{cm}$.
a) Xác định tần số biến thiên của động năng.
b) Tính khoảng thời gian ngắn nhất giữa hai lần liên tiếp động năng bằng thế năng.
c) Trong một chu kì, tính khoảng thời gian mà thế năng của vật lớn hơn động năng ($W_t > W_d$).
a) Tần số biến thiên của động năng:
Tần số dao động của vật: $f = \frac{1}{T} = \frac{1}{1,2} = \frac{5}{6}\,\text{Hz}$.
Tần số biến thiên của động năng: $f' = 2f = 2 \cdot \frac{5}{6} = \frac{5}{3} \approx 1,67\,\text{Hz}$.
b) Khoảng thời gian giữa hai lần liên tiếp $W_d = W_t$:
Vật đi từ vị trí $x = \pm \frac{A}{\sqrt{2}}$ này đến vị trí kế tiếp mất thời gian:
$$\Delta t = \frac{T}{4} = \frac{1,2}{4} = 0,3\,\text{s}$$
c) Khoảng thời gian $W_t > W_d$:
Điều kiện $W_t > W_d \iff |x| > \frac{A}{\sqrt{2}}$.
Vật chuyển động trong 2 vùng ngoài: $\left(-A; -\frac{A}{\sqrt{2}}\right)$ và $\left(+\frac{A}{\sqrt{2}}; +A\right)$.
Mỗi vùng ngoài gồm 2 lượt đi và về, mỗi lượt quét góc $\frac{\pi}{4}$ (mất $\frac{T}{8}$).
Tổng thời gian trong một chu kì:
$$\Delta t_{\text{ngoài}} = 4 \cdot \frac{T}{8} = \frac{T}{2} = \frac{1,2}{2} = 0,6\,\text{s}$$
Dạng 3 Đọc và khai thác đồ thị năng lượng $(W - x)$ và $(W - t)$
- Đồ thị $(W - x)$ (Hình parabol):
• Đỉnh cao nhất của parabol $W_t$ ứng với li độ biên $x = \pm A$, tung độ đỉnh chính là cơ năng $W$.
• Đỉnh của parabol $W_d$ nằm tại $x = 0$ (VTCB), tung độ chính bằng cơ năng $W$.
• Giao điểm giữa hai nhánh parabol có tọa độ $x = \pm \frac{A}{\sqrt{2}}$ và $W_d = W_t = \frac{W}{2}$.
• Từ cơ năng $W$ và biên độ $A$, tính được độ cứng: $k = \frac{2W}{A^2}$. - Đồ thị $(W - t)$ (Hình sóng tuần hoàn):
• Khoảng thời gian giữa hai đỉnh liên tiếp của đồ thị thế năng (hoặc động năng) là một chu kì năng lượng $T' = \frac{T}{2} \implies T = 2T'$.
• Khoảng cách giữa điểm cực đại và điểm cực tiểu kế tiếp là $\frac{T'}{2} = \frac{T}{4}$.
• Giao điểm giữa hai đường sóng $W_d(t)$ và $W_t(t)$ cách nhau khoảng thời gian $\frac{T}{4}$.
Đồ thị bên dưới biểu diễn sự phụ thuộc của thế năng đàn hồi $W_t$ theo li độ $x$ của một con lắc lò xo dao động điều hòa trên mặt sàn nằm ngang:
a) Xác định biên độ dao động $A$ và cơ năng toàn phần $W$ của con lắc.
b) Tính độ cứng $k$ của lò xo.
c) Xác định li độ $x_0$ khi thế năng bằng một nửa cơ năng toàn phần.
a) Biên độ và cơ năng:
Từ đồ thị, giới hạn li độ của parabol là từ $-6\,\text{cm}$ đến $+6\,\text{cm} \implies$ Biên độ $A = 6\,\text{cm} = 0,06\,\text{m}$.
Giá trị cực đại của thế năng tại biên chính là cơ năng: $W = 0,18\,\text{J}$.
b) Độ cứng $k$ của lò xo:
Ta có $W = \frac{1}{2}kA^2 \implies k = \frac{2W}{A^2} = \frac{2 \cdot 0,18}{(0,06)^2} = \frac{0,36}{0,0036} = 100\,\text{N/m}$.
c) Xác định li độ $x_0$:
Khi thế năng bằng một nửa cơ năng ($W_t = \frac{W}{2} = 0,09\,\text{J}$):
$$\frac{1}{2}kx_0^2 = \frac{1}{2}W \implies x_0 = \pm \frac{A}{\sqrt{2}} = \pm \frac{6}{\sqrt{2}} = \pm 3\sqrt{2}\,\text{cm} \approx \pm 4,24\,\text{cm}$$
Dạng 4 Năng lượng và bài toán lực trong con lắc đơn dao động điều hòa
Xét con lắc đơn có chiều dài $l$, khối lượng vật $m$, dao động góc nhỏ $\alpha_0$ ($\alpha_0 \le 10^\circ \approx 0,175\,\text{rad}$):
- • Thế năng trọng trường: $W_t = mgh = mgl(1 - \cos\alpha) \approx \frac{1}{2}mgl\alpha^2 = \frac{1}{2}m\frac{g}{l}s^2$.
- • Cơ năng bảo toàn: $W = mgl(1 - \cos\alpha_0) \approx \frac{1}{2}mgl\alpha_0^2 = \frac{1}{2}m\frac{g}{l}s_0^2$.
- • Vận tốc tại vị trí góc lệch $\alpha$: $$v = \pm \sqrt{2gl(\cos\alpha - \cos\alpha_0)} \approx \pm \sqrt{gl(\alpha_0^2 - \alpha^2)}$$ $$v_{\text{max}} = \sqrt{2gl(1 - \cos\alpha_0)} \approx \alpha_0 \sqrt{gl}$$
- • Lực căng của sợi dây treo:
$$T_c = mg(3\cos\alpha - 2\cos\alpha_0) \approx mg\left(1 + \alpha_0^2 - \frac{3}{2}\alpha^2\right)$$
- Cực đại tại VTCB ($\alpha = 0$): $T_{c\text{max}} = mg(3 - 2\cos\alpha_0) \approx mg(1 + \alpha_0^2)$.
- Cực tiểu tại biên ($\alpha = \pm \alpha_0$): $T_{c\text{min}} = mg\cos\alpha_0 \approx mg\left(1 - \frac{\alpha_0^2}{2}\right)$.
Một con lắc đơn gồm sợi dây không dãn dài $l = 1\,\text{m}$ và quả nặng khối lượng $m = 100\,\text{g}$. Kéo con lắc lệch khỏi VTCB một góc $\alpha_0 = 6^\circ \approx 0,105\,\text{rad}$ rồi thả nhẹ không vận tốc đầu. Bỏ qua ma sát, lấy $g = 9,8\,\text{m/s}^2$.
a) Tính cơ năng toàn phần của con lắc.
b) Tính tốc độ của vật nặng khi đi qua vị trí cân bằng.
c) Tính lực căng dây treo khi vật đi qua vị trí có góc lệch $\alpha = 3^\circ$.
a) Cơ năng toàn phần:
Đổi $m = 100\,\text{g} = 0,1\,\text{kg}$, $\alpha_0 \approx 0,105\,\text{rad}$.
$$W \approx \frac{1}{2}mgl\alpha_0^2 = \frac{1}{2} \cdot 0,1 \cdot 9,8 \cdot 1 \cdot (0,105)^2 \approx 5,4 \cdot 10^{-3}\,\text{J} = 5,4\,\text{mJ}$$
b) Tốc độ cực đại tại VTCB: $$v_{\text{max}} \approx \alpha_0 \sqrt{gl} = 0,105 \cdot \sqrt{9,8 \cdot 1} \approx 0,105 \cdot 3,13 \approx 0,329\,\text{m/s} = 32,9\,\text{cm/s}$$
c) Lực căng dây tại $\alpha = 3^\circ \approx 0,0524\,\text{rad}$: $$T_c \approx mg\left(1 + \alpha_0^2 - \frac{3}{2}\alpha^2\right) = 0,1 \cdot 9,8 \cdot \left[1 + (0,105)^2 - \frac{3}{2}(0,0524)^2\right]$$ $$T_c \approx 0,98 \cdot (1 + 0,0110 - 0,0041) \approx 0,98 \cdot 1,0069 \approx 0,987\,\text{N}$$
Dạng 5 Bài toán thực tế và ứng dụng bảo toàn năng lượng dao động
- • Hệ thống giảm xóc xe máy, ô tô: Sử dụng lò xo đàn hồi kết hợp ống giảm chấn dầu để hấp thụ và biến đổi thế năng va đập từ mặt đường gồ ghề thành nhiệt năng, giúp xe chuyển động êm ái.
- • Bạt nhún thể thao (Trampoline): Sự chuyển hóa luân phiên 3 dạng năng lượng: Động năng cơ thể $\leftrightarrow$ Thế năng trọng trường $\leftrightarrow$ Thế năng đàn hồi của lưới bạt.
- • Đồng hồ quả lắc: Hoạt động dựa trên sự bảo toàn cơ năng của con lắc đơn, được bổ sung năng lượng định kì từ dây cót hoặc quả tạ để bù vào phần cơ năng hao phí do lực cản không khí.
Một vận động viên có khối lượng $m = 60\,\text{kg}$ thực hiện các động tác nhảy trên bạt nhún lò xo (Trampoline). Coi hệ bạt nhún tương đương với một con lắc lò xo đặt thẳng đứng có độ cứng $k = 6000\,\text{N/m}$. Lấy gia tốc trọng trường $g = 9,8\,\text{m/s}^2$. Bỏ qua lực cản không khí.
a) Khi vận động viên đứng yên cân bằng trên bạt, mặt bạt bị võng xuống một đoạn $\Delta l_0$ bằng bao nhiêu?
b) Nhún nhẹ để người đó dao động điều hòa theo phương thẳng đứng với biên độ $A = 10\,\text{cm}$. Tính thế năng đàn hồi cực đại tích trữ trong bạt nhún.
c) Tính cơ năng dao động toàn phần của hệ và tốc độ của vận động viên khi đi qua vị trí cân bằng.
a) Độ biến dạng của mặt bạt tại VTCB ($\Delta l_0$):
Tại vị trí cân bằng, lực đàn hồi của bạt cân bằng với trọng lực của người:
$$F_{\text{đh}} = P \iff k \cdot \Delta l_0 = mg \implies \Delta l_0 = \frac{mg}{k} = \frac{60 \cdot 9,8}{6000} = 0,098\,\text{m} = 9,8\,\text{cm}$$
b) Thế năng đàn hồi cực đại của bạt nhún ($W_{t\text{đh max}}$):
Độ biến dạng lớn nhất của mặt bạt đạt được tại vị trí biên dưới ($x = +A = 10\,\text{cm} = 0,1\,\text{m}$):
$$\Delta l_{\text{max}} = \Delta l_0 + A = 9,8 + 10 = 19,8\,\text{cm} = 0,198\,\text{m}$$
Thế năng đàn hồi cực đại tích trữ trong hệ bạt lò xo:
$$W_{t\text{đh max}} = \frac{1}{2}k(\Delta l_{\text{max}})^2 = \frac{1}{2} \cdot 6000 \cdot (0,198)^2 \approx 117,6\,\text{J}$$
c) Cơ năng dao động và tốc độ khi qua VTCB:
• Cơ năng dao động của hệ:
$$W = \frac{1}{2}kA^2 = \frac{1}{2} \cdot 6000 \cdot (0,1)^2 = 30\,\text{J}$$
• Tần số góc dao động của hệ:
$$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{6000}{60}} = 10\,\text{rad/s}$$
• Tốc độ cực đại của vận động viên khi đi qua VTCB:
$$v_{\text{max}} = \omega A = 10 \cdot 0,1 = 1,0\,\text{m/s} = 100\,\text{cm/s}$$
III. TỔNG KẾT & LUYỆN TẬP
Ghi nhớ trọng tâm:
- Trong dao động điều hòa không ma sát, cơ năng luôn được bảo toàn: $W = W_d + W_t = \text{const}$.
- Tại vị trí $W_d = n W_t \implies x = \pm \frac{A}{\sqrt{n+1}}$ và $v = \pm \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}}v_{\text{max}}$.
- Động năng và thế năng biến thiên tuần hoàn với chu kì $T' = T/2$ và tần số $f' = 2f$.
- Khoảng thời gian ngắn nhất giữa hai lần $W_d = W_t$ luôn là $\Delta t = \frac{T}{4}$.